原创研究文章

前面。3月科学。，13October 2022
第二章海洋解决方案
https://doi.org/10.3389/fmars.2022.982374

轴向运动水下管道输送脉动流体的动力学分析

“罗 ^1、2而且

大鹏张 ^{1、2 *}

¹广东海洋大学船舶与海事学院，湛江
²广东海洋大学深圳研究所，中国深圳

本文综合研究了在不可压缩流体中轴向运动的输送脉动流体的细长均匀管道的线性和非线性动力学。考虑坐标转换系统、描述外部流体引起的附加惯性力的“轴向附加质量系数”、Kelvin-Voigt粘弹性阻尼、一种非线性的轴向附加张力以及脉动的内部流体等因素，建立了系统的振动方程。采用伽辽金法对振动方程进行离散化，采用龙格-库塔法进行求解，并对求解方法的有效性进行了验证。然后，研究了管内流速和管道轴向移动速度较小时系统的线性和非线性响应。对于线性响应，Kelvin-Voigt黏弹性阻尼对系统的二阶和三阶模态有较大的影响。对于非线性动力，结果丰富多样，包括第一、第二主参数共振、二次共振、组合共振、周期运动、准周期运动和混沌运动。最后，分析了几个关键系统参数对非线性响应的影响。

1介绍

输送流体的管道的线性和非线性动力学在几十年前已经得到了广泛的研究。Paїdoussis (Païdoussis和Li, 1993；Paidoussis 1998；Paidoussis 2003)对这些课题的早期著作作了广泛的回顾。这些综述从数学建模、求解方法、失稳机理、线性、非线性和混沌动力学等方面讨论了管道输送流体动力学的各个方面。在这些综述中，还讨论了各种参数对系统动力学的影响，如边界条件、定常或非定常内流、流体摩擦效应、弹性约束或运动限制以及弹性基础。paystaydoussis指出，输送流体的管道模型虽然简单，但其运动方程不仅包含杆梁系统的一般动力特性，还包含由内部流体引起的陀螺力，使输送流体的管道表现出更广泛的动力行为，成为研究细长结构和轴流的流固相互作用的新范式。

在某些情况下，管内流速可能包含谐波分量，即脉动流体，谐波分量可能导致参数不稳定。在早期的研究中，特别是由金斯堡,1973而且Païdoussis和isdid (1974)采用线性化分析模型和数值方法揭示了简支直管的参数失稳。在随后的研究中，引入了各种非线性模型来进一步研究不同类型参数共振下的系统，特别是Namachchivaya和Tien (Namachchivaya 1989；Namachchivaya和Tien, 1989a；Namachchivaya和Tien, 1989b)，Jayaraman和Narayanan (1996)， Öz (Öz和Boyaci, 2000；Öz等，2001)，金与宋(2005)、熊猫及卡(潘达和卡尔，2007年；潘达和卡尔，2008)，王(王2009年；王2010年),Ni et al. (2014)．这些工作表明，输送脉动流体的管道表现出丰富的非线性动力现象。

在上述研究中，管道系统是固定的。然而，在一些工程设备中，系统可能具有轴向运动，例如机器人系统、水下拖曳电缆和传送带。这些系统的轴向运动对系统的横向振动有显著影响。因此，轴向运动柔性体的动力学行为得到了广泛的研究。在这些著作中有显著贡献的是巴拉科瑞斯南(1985)；凯恩等人，1987年；Du等人，1992年；Shabana 1997；Hyun and Yoo, 1999；Liu et al.， 2007；Yoo等人，2009年而且Gerstmayr (2013)．

如果轴向运动结构被流体包围，那么外部流体的影响是不可忽视的。例如，在飞机飞行加油过程中，加油管道连接后，加油飞机和接收飞机相对保持静止飞行状态。在这种情况下，周围的空气对管道会有一个轴向相对速度，这将影响管道的稳定性。水下拖曳细长结构是另一个典型的例子。本文首先对水下轴向伸展悬臂梁的动力学和稳定性进行了研究塔勒布和米斯拉(2012)．然而，在最近的工作中，-提供了一个更精确的模型，包含“轴向附加质量系数”，以更好地计算外部流体动力。在此基础上，研究了受扭转弹簧约束的水下轴向运动梁的动力行为Wang和Ni (2008)．最近，Ni和Li (倪，李，2014；李等，2015)研究了不同边界条件下水下运动梁的动力特性。在轴向运动和延伸的悬臂梁以及输送流体的滑动管道中，Yan (严等，2016；严等，2018；严等，2020年)．霍和王(2016)研究了有内液无外液垂直拉伸悬臂管的动力特性。在作者之前的研究中，对轴向运动的水下管道输送流体的线性动力学进行了分析(倪等，2017)．在最新的研究中，Zhou和Dai (Zhou等，2022)设计了一个基于悬臂管的水下仿生机器人，如图所示图1．通过改变管道内部流体的速度，可以调节管道的振动响应来控制机器人的运动。综上所述，轴向移动管结构在工程中有着广泛的应用，特别是在水下移动结构的控制方面。然而，对这些结构的研究较少，现有的研究主要集中在线性动力学方面。这些结构的非线性动力学，特别是内部脉动流体作用下的非线性动力学，需要进一步研究。

图1

图1周和戴设计的水下仿生机器人(Zhou等，2022)．

本文综合研究了在不可压缩流体中轴向运动的输送脉动流体的细长均匀管道的线性和非线性动力学行为。本文的内容安排如下。在第二节中，考虑各种因素，建立了系统的振动方程。在第三节中，采用伽辽金法离散振动方程，并采用龙格-库塔法求解。在第4节中，仔细检查了解过程的有效性。在第5节中，研究了系统的线性响应和非线性响应:首先，研究了管道系统的线性动力;其次，在忽略内部流动脉动分量的情况下，研究了考虑非线性附加管道轴力的非线性动力响应;第三，研究了系统在脉动内流作用下的非线性动力响应;最后，分析了几个关键系统参数对非线性响应的影响。根据Floquet理论，得到了系统的参数失稳区域图。 Furthermore, some typical system motions are identified by the bifurcation diagram, time history curve, power spectral density (PSD), phase trajectory, and Poincaré map. The conclusions are shown in Section 6.

系统的制定和理论推导

分析系统如图图2．考虑一个外径均匀的简支管D、长度l，内周长年代，单位长度的质量米_p，抗弯刚度EI，内部截面积一个_我，输送单位长度质量的流体米_f，为轴向流速V相对于管道，流体压力p_我．管子以一定的速度轴向移动L (t)．整个系统被高密度的不可压缩流体所包围ρ，边界的影响可以忽略不计。在本研究中，进一步假设在横流中不发生分离，作用在管道单元上的流体力与作用在相同截面积和倾角的未变形长管道的相应单元上的流体力相同。

图2

图2分析系统和相应的坐标。

为了更好地描述管道系统的运动，在前人研究的基础上建立了两个坐标系(倪，李，2014；李等，2015):绝对坐标系(x, z)和移动坐标系 $（ \bar{x} ， \bar{z} ）$ 相对于支撑。在绝对坐标系中(x, z)时，管道的运动可分为两部分:轴向位移v (x, t)横向位移w (x, t)．管道的轴向位移包括轴向变形和轴向运动。管道的轴向变形相对于横向位移较小，可以忽略不计，因此管道的轴向位移可表示为:

\begin{array}{l} v ＝ v_{t r 一个 n 年代 l 一个 t 我 o n} ＝ l （ t ） & （ 1 ） \end{array}

移动坐标系定义为:

\begin{array}{l} \bar{x} ＝ x - l （ t ） ； \bar{z} ＝ z ； \bar{t} ＝ t & （ 2 ） \end{array}

另外，两个坐标之间的导数关系表示为:

\begin{array}{l} ｛ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} ＝ \frac{\partial}{\partial \bar{x}} ， \\ \frac{\partial}{\partial t} ＝ \frac{\partial}{\partial \bar{t}} + \frac{\partial}{\partial \bar{x}} \frac{\partial \bar{x}}{\partial t} ＝ \frac{\partial}{\partial \bar{t}} - \dot{l} \frac{\partial}{\partial \bar{x}} ＝ \frac{\partial}{\partial \bar{t}} - \dot{l} \frac{\partial}{\partial x} \end{array} & （ 3. ） \end{array}

利用牛顿法和两个坐标之间的导数关系，在前人的工作中得到了运动坐标上的运动方程[Ni和Luo的工作中的(32)式(倪等，2017)，有关推导的详细资料亦可参阅[:

\begin{array}{l} \begin{matrix} E 我 \frac{\partial^{4} w}{\partial {\bar{x}}^{4}} ｛ 米_{f} V^{2} + 米 ［ （ β - 1 ） \dot{l} ］^{2} - T_{l} + ［ 米_{f} \dot{V} + （ 米_{f} + 米_{p} + β 米 ） \ddot{l} + \frac{1}{2} C_{T} （ \frac{米}{D} ） {\dot{l}}^{2} + \frac{\partial p_{o}}{\partial \bar{x}} {一个}_{o} ］ （ l - \bar{x} ） ｝ \frac{\partial^{2} w}{\partial {\bar{x}}^{2}} - \\ ［ \frac{\partial p_{o}}{\partial \bar{x}} {一个}_{o} + （ 米_{f} + 米_{p} + 米 ） \ddot{l} ］ \frac{\partial w}{\partial \bar{x}} + 2 ［ 米_{f} V + 米 （ β - 1 ） \dot{l} ］ \frac{\partial^{2} w}{\partial \bar{x} \partial \bar{t}} + \\ \frac{1}{2} （ \frac{米}{D} ） （ \dot{l} C_{N} + {\tilde{C}}_{N} ） \frac{\partial w}{\partial \bar{t}} + （ 米_{f} + 米_{p} + 米 ） \frac{\partial^{2} w}{\partial {\bar{t}}^{2}} ＝ 0 \end{matrix} & （ 4 ） \end{array}

在哪里p_o而且一个_o分别为静水压力和梁的横截面面积;T_l为线轴张力;米为单位长度的横向虚质量;β是否存在“轴向附加质量系数”Gosselin et al. (2007)；而且C_N， ${\tilde{C}}_{N}$ 而且C_T法向和切向阻力系数可由泰勒(1952)．

当重力方向和x-轴是正交的，外界压力沿梯度x-direction可以忽略，即

\begin{array}{l} \frac{\partial p_{o}}{\partial x} ＝ 0 & （ 5 ） \end{array}

本文引入了Kelvin-Voigt型内耗散模型来改进运动方程。引入式(5)，运动方程[式(4)]可改写为:

\begin{array}{l} \begin{matrix} E 我 \frac{\partial^{4} w}{\partial {\bar{x}}^{4}} + E^{＊} 我 \frac{\partial^{5} w}{\partial {\bar{x}}^{4} \partial \bar{t}} \\ + ｛ 米_{f} V^{2} + 米 ［ （ β - 1 ） \dot{l} ］^{2} - T_{l} + ［ 米_{f} \dot{V} + \frac{1}{2} C_{T} （ \frac{米}{D} ） {\dot{l}}^{2} + （ 米_{f} + 米_{p} + β 米 ） \ddot{l} ］ （ l - \bar{x} ） ｝ \frac{\partial^{2} w}{\partial {\bar{x}}^{2}} \\ - （ 米_{f} + 米_{p} + 米 ） \ddot{l} \frac{\partial w}{\partial \bar{x}} + 2 ［ 米_{f} V + 米 （ β - 1 ） \dot{l} ］ \frac{\partial^{2} w}{\partial \bar{x} \partial \bar{t}} + \frac{1}{2} （ \frac{米}{D} ） （ \dot{l} C_{N} + {\tilde{C}}_{N} ） \frac{\partial w}{\partial \bar{t}} + （ 米_{f} + 米_{p} + 米 ） \frac{\partial^{2} w}{\partial {\bar{t}}^{2}} ＝ 0 \end{matrix} & （ 6 ） \end{array}

在哪里E^＊为Kelvin-Voigt粘弹性阻尼系数。

为了进一步研究系统的非线性特性，采用了线性轴向张力T_l被非线性的附加轴向张力所取代 $\bar{T}$ ，可表示为:

\begin{array}{l} \bar{T} ＝ （ E + E^{＊} \frac{\partial}{\partial \bar{t}} ） \frac{{一个}_{o}}{2 l} \int_{0}^{l} {（ \frac{\partial w}{\partial \bar{x}} ）}^{2} d \bar{x} & （ 7 ） \end{array}

则可导出无量纲运动方程如下:

\begin{array}{l} \begin{matrix} \frac{\partial^{4} η}{\partial ξ^{4}} + α \frac{\partial^{5} η}{\partial ξ^{4} \partial τ} \\ + ｛ u^{2} + （ β - 1 ）^{2} υ^{2} - κ \int_{0}^{1} {（ \frac{\partial η}{\partial ξ} ）}^{2} d ξ - 2 α κ \int_{0}^{1} \frac{\partial η}{\partial ξ} \frac{\partial^{2} η}{\partial ξ \partial τ} d ξ + ［ β_{1}^{1 / 2} \dot{u} + \frac{1}{2} C_{T} ϵ υ^{2} + （ 1 - β_{3.} + β β_{3.} ） β_{3.}^{- 1 / 2} \dot{υ} ］ （ 1 - ξ ） ｝ \frac{\partial^{2} η}{\partial ξ^{2}} \\ - β_{3.}^{- 1 / 2} \dot{υ} \frac{\partial η}{\partial ξ} + 2 ［ β_{1}^{1 / 2} u + （ β - 1 ） β_{3.}^{1 / 2} υ ］ \frac{\partial^{2} η}{\partial ξ \partial τ} + \frac{1}{2} ϵ （ β_{3.}^{1 / 2} υ C_{N} + β_{3.} {\bar{C}}_{N} ） \frac{\partial η}{\partial τ} + \frac{\partial^{2} η}{\partial τ^{2}} ＝ 0 \end{matrix} & （ 8 ） \end{array}

无量纲参数定义如下:

\begin{array}{l} \begin{matrix} η ＝ \frac{w}{l} ， ξ ＝ \frac{\bar{x}}{l} ， τ ＝ {（ \frac{E 我}{米_{f} + 米_{p} + 米} ）}^{1 / 2} \frac{\bar{t}}{l^{2}} ＝ σ \bar{t} ， u \\ ＝ {（ \frac{米_{f}}{E 我} ）}^{1 / 2} l V ， υ ＝ {（ \frac{米}{E 我} ）}^{1 / 2} l \dot{l} ， β_{1} ＝ \frac{米_{f}}{米_{f} + 米_{p} + 米} ， β_{2} \\ ＝ \frac{米_{p}}{米_{f} + 米_{p} + 米} ， β_{3.} ＝ \frac{米}{米_{f} + 米_{p} + 米} ＝ 1 - β_{1} - β_{2} ， ϵ \\ ＝ \frac{l}{D} ， {\bar{C}}_{N} ＝ \frac{{\tilde{C}}_{N}}{σ l} ， κ ＝ \frac{一个 l^{2}}{2 我} ， α ＝ {［ \frac{我}{E （ 米_{f} + 米_{p} + 米 ）} ］}^{1 / 2} \frac{E^{＊}}{l^{2}} \end{matrix} & （ 9 ） \end{array}

对于简单支承，可得边界条件为:

\begin{array}{l} η （ ξ ＝ 0 ， τ ） ＝ η （ ξ ＝ 1 ， τ ） ＝ 0 ， {\frac{\partial^{2} η}{\partial ξ^{2}} |}_{ξ ＝ 0} ＝ {\frac{\partial^{2} η}{\partial ξ^{2}} |}_{ξ ＝ 1} ＝ 0 & （ 10 ） \end{array}

在哪里η，ξ而且τ分别表示无因次横向位移、轴向坐标和时间。

此外，假定内部流体流动受到一个小的正弦波动

\begin{array}{l} u ＝ u_{0} ［ 1 + μ 罪 （ ω_{p} τ ） ］ ， \dot{u} ＝ u_{0} μ ω_{p} 因为 （ ω_{p} τ ） & （ 11 ） \end{array}

在哪里μ是否假定扰动振幅很小，ω_p是脉动频率，和u₀是平均流速。

3数值解

由于方程的复杂性，特别是非线性项，很难直接求解式(8)。本文选择的求解方法是伽辽金法。Galerkin方法将偏微分方程转化为一系列常微分方程，可以很容易地求解偏微分方程，在求解管道输送流体系统振动方程(Païdoussis和Li, 1993；Paidoussis 1998；Paidoussis 2003)．根据伽辽金法，式(8)的解可表示为:

\begin{array}{l} η （ ξ ， τ ） ＝ \sum_{j ＝ 1}^{N} φ_{j} （ ξ ） 问_{j} （ τ ） & （ 12 ） \end{array}

在哪里ϕ_j（ξ)为满足边界条件的比较函数。对于本文的简支管，ϕ_j（ξ)可作为简支梁的归一化本征函数

\begin{array}{l} φ_{j} （ ξ ） ＝ \sqrt{2} 罪 （ j π ξ ） & （ 13 ） \end{array}

利用式(12)，式(8)可以改写为矩阵形式

\begin{array}{l} 米 \ddot{问} + C \dot{问} + Kq + H(问 ， \dot{问}) = 0 & （ 14 ） \end{array}

在哪里问， $\dot{问}$ 而且 $\ddot{问}$ 分别为结构位移矢量、速度矢量和加速度矢量;而且米，C而且K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵。此外,H (q, $\dot{问}$ )表示与非线性项相关的向量。可以得到矩阵和向量的元素如下:

\begin{array}{l} ｛ \begin{array}{l} 米_{我 j} ＝ e_{我 j} ， \\ C_{我 j} ＝ α {一个}_{我 j} + 2 d_{我 j} ［ β_{1}^{1 / 2} u + （ β - 1 ） β_{3.}^{1 / 2} υ ］ + \frac{1}{2} e_{我 j} ϵ （ υ C_{N} β_{3.}^{1 / 2} + β_{3.} {\bar{C}}_{N} ） ， \\ K_{我 j} ＝ {一个}_{我 j} + b_{我 j} ［ u^{2} + {（ β - 1 ）}^{2} υ^{2} + \bar{Θ} ］ - c_{我 j} \bar{Θ} - d_{我 j} β_{3.}^{- 1 / 2} \dot{υ} \end{array} & （ 15 ） \end{array}

\begin{array}{l} {H(问 ， \dot{问}) =κ(q}^{T} {bqbq + 2α问}^{T} b \dot{问} bq) & （ 16 ） \end{array}

在这

\begin{array}{l} \begin{array}{l} {一个}_{我 j} ＝ \int_{0}^{1} φ_{我} φ_{j}^{（ 4 ）} d ξ ， b_{我 j} ＝ \int_{0}^{1} φ_{我} φ_{j}^{（ 2 ）} d ξ ＝ - \int_{0}^{1} φ_{我}^{（ 1 ）} φ_{j}^{（ 1 ）} d ξ, \\ c_{我 j} ＝ \int_{0}^{1} ξ φ_{我} φ_{J}^{2} d ξ ， d_{我 j} ＝ \int_{0}^{1} φ_{我} φ_{j}^{（ 1 ）} d ξ ， e_{我 j} ＝ \int_{0}^{1} φ_{我} φ_{j} d ξ \end{array} & （ 17 ） \end{array}

\begin{array}{l} \bar{Θ} ＝ β_{1}^{1 / 2} \dot{u} + \frac{1}{2} C_{T} ϵ υ^{2} + （ 1 - β_{3.} + β β_{3.} ） β_{3.}^{- 1 / 2} \dot{υ} & （ 18 ） \end{array}

通过引入状态向量y= {问₁⋯,问_n, $\dot{问}$ ₁⋯, $\dot{问}$ _n｝^T，式(14)可改写为:

\begin{array}{l} \dot{y} =嗯 + 问 & （ 19 ） \end{array}

在哪里

\begin{array}{l} 一个 ＝ ［ \begin{matrix} 0 & 我 \\ - 米^{- 1} K & - 米^{- 1} C \end{matrix} ］ ， 问 ＝ ［ \begin{matrix} 0 \\ - 米^{- 1} H \end{matrix} ］ & （ 20. ） \end{array}

式(19)可以通过适当的初始条件，用四阶龙格-库塔法求解。四阶龙格-库塔方法是求解复杂系统非线性微分方程的一种高精度算法，广泛应用于工程(李等，2015；严等，2018；Liu等，2021；Wang等，2021；Wang等，2022；Wang等，2022；Zhou等，2022)．

本文考虑管道的轴向移动速度(以下简称移动速度)在[0,20]范围内。其他系统参数是在先前工作的基础上设定的(倪等，2017)，除非另有说明，详情如下:

\begin{array}{l} ｛ \begin{array}{l} 问_{j} ＝ - 0.001 ， j ＝ 1 ～ 4 ， 问_{j} ＝ 0 ， j ＝ 5 ， 6 .．. N ； \\ {\dot{问}}_{j} ＝ - 0.001 ， j ＝ 1 ， 2 .．. N ； \\ β_{1} ＝ 0.4 ， β_{2} ＝ 0.4 ， β_{3.} ＝ 0.2 ， β ＝ 0.2 ， \\ ε ＝ 50 ， \dot{υ} ＝ 0 ， μ ＝ 0.4 ， κ ＝ 5000 ， α ＝ 0.005 ， \\ C_{N} ＝ C_{T} ＝ 0．02 ， {\bar{C}}_{N} ＝ 0.002 \end{array} & （ 21 ） \end{array}

为了显示系统的动力学行为，构造了分岔图。在分岔图中，横轴显示控制参数(移动速度、内部平均流速、脉动频率等);纵坐标表示管道中点位移幅值的平稳解，即:

\begin{array}{l} η （ 0．5 ， τ ） ＝ \sum_{j ＝ 1}^{N} φ （ 0．5 ） 问_{j} （ τ ） & （ 22 ） \end{array}

在哪里τ足够大，所以暂态解可以忽略。

4方案验证

4.1 Galerkin过程的收敛性

为了精确的数值计算，一个合适的伽辽金截断数N式(12)的值需要先确定。考虑较大移动速度和内部平均流速的情况，即:υ= 8,u₀= 4.5，取脉动频率ω_p为控制参数，不同伽辽金截断下的分岔图如图所示图3．根据图3，不同伽辽金截断下的分岔图基本相同。因此，为了节省时间，本文选择式(12)的伽辽金截断为N = 4．

图3

图3在不同伽辽金截断下，管道中点的分岔图N(υ= 8,u_{0 =}4.5，控制参数为ω_p)：(一)N = 4；(B)N = 6；(C)N = 8．

4.2方案程序验证

4.2.1简化模型i:管道无轴向运动

在该部分中，引入了简化模型，进一步验证了求解过程。首先，考虑管道没有轴向运动，即: $υ ＝ 0 ， \dot{υ} ＝ 0$ ．利用几乎相同的系统参数Ni et al. (2014),也就是说,

β₁= 0.64,β₂= 0.36,β_3.＝β= 0,u₀= 4.5，以脉动频率为控制参数，得到分岔图结果，如图4．比较图4一用图在以前的工作[图2在工作Ni et al. (2014)]，结果几乎相同:主要差异在于位移的大小，这可能是由不同的阻尼值引起的。

图4

图4带静支撑的管道中点分岔图:(一)目前的工作;(B)图2中的工作Ni et al. (2014)．

4.2.2简化模型delii:管道轴向运动，内部无流体

然后，考虑没有内部流体，即，u= 0, $\dot{u}$ =0时，管道系统退化为相应的梁系统。利用相同的系统参数和初始条件，Li和Ni (李等，2015),也就是说,问_j= 0.001,j= 1 ~ 4;问_j= 0,j= 5、6……N； ${\dot{问}}_{j} ＝ 0$ ，j= 1, 2…N；β₁= 0,β₂＝β_3.= 0.5,β= 0.2,κ= 20000其中伽辽金截断N = 8．以运动速度为控制参数，得到分岔图结果，如图所示图5．比较图5一个图8A在Li和Ni的工作中(李等，2015)]，结果完全相同。

图5

图5不考虑内部流体，管道中点的分岔图:(一)目前的工作;(B)图2 Li和Ni的工作(李等，2015)．

5个结果

5.1线性动态

该部分未考虑非线性附加管道轴向力和脉动内流的影响;首先研究了系统的线性动态特性。对于线性动力，将式(8)的矩阵形式退化为

\begin{array}{l} 米 \ddot{问} + C \dot{问} + Kq = 0 & （ 23 ） \end{array}

则式(23)的解为:

\begin{array}{l} q = \bar{问} 经验值 （ ω τ ） & （ 24 ） \end{array}

在哪里ω为无量纲频率。将式(24)代入式(23)，对于方程的非平凡解，系数矩阵的行列式应为零，即

\begin{array}{l} 依据 （ ω^{2} 米 + ω C + K ） ＝ 0 & （ 25 ） \end{array}

求解式(25)可得到系统的特征值，其中特征值的虚部表示固有频率，实部与阻尼有关。

在给出结果之前，需要引入几种临界值(倪等，2017)．

υ_Bi，u_Bi的分岔临界值我th模式。的特征值的虚部(即固有频率)我在此临界速度下，当特征值实部发生分岔时，Th模态完全降为零。

υ_迪，u_迪的散度临界值我th模式。的虚部和实部(如果发生了分岔，我们称实部的一个分支)我在这个临界速度下，模态等于零，在这种情况下，模态发生静态屈曲。

υ_Fi，u_Fi:颤振临界值我th模式。系统失去稳定性通过如果移动速度超过此临界速度，则颤振。

首先，设内部流体速度为定值，即u= 2;移动速度对前三个特征值的影响(记为ω_我，我= 1, 2, 3)，其结果如图6．从…中可以看出图6，在第一模态下，随着移动速度的增加，系统先稳定，然后因散度而失稳，最后因颤振而失稳;在第二种模式下，系统经历稳定-分叉-发散-颤振的过程;在第三种模式下，系统总是稳定的。这些过程与以前的工作不同[图7G, H in (倪等，2017)]，归因于Kelvin-Voigt粘弹性阻尼。结果表明，Kelvin-Voigt粘弹性阻尼对二、三模态影响较大，对一模态影响较小。

图6

图6无量纲频率的变化ω随着移动速度υ，对于具有内部流体速度的钉钉管的前三种模态u= 2:(一)虚部;(B)实部。

系统的几种临界速度如下所示:第一种模式为分岔临界速度υ_B₁≈2.559，散度临界速度υ_D₁≈2.565，颤振临界转速υ_F₁≈11.93;在第二种模式下，分岔临界速度υ_B₂≈6.256，发散临界速度υ_D₂≈9.788，颤振临界转速υ_F₂≈14.96。

那么，设移动速度为常值，即υ= 2;研究了内部流体速度对前三个特征值的影响，结果显示在图7．比较图6与图7，很容易发现，内部流体速度的影响与移动速度相似。几种临界速度如下所示:第一种模式为分岔临界速度u_B₁≈2.507为发散临界速度u_D₁≈2.51，颤振临界速度u_F₁≈6.12;在第二种模式下，分岔临界速度u_B₂≈8.878，发散临界速度u_D₂≈9.234，颤振临界速度u_F₂≈13.06。

图7

图7无量纲频率ω随内部流体速度的变化u，对于前三种随移动速度的钉管模式υ= 2:(一)虚部;(B)实部。

5.2无脉动内流的动力响应

在这一部分中，研究了非线性附加轴向张力对管道中点动力响应的影响。本部分忽略了内部流的脉动分量，即u＝u₀．首先考虑内部流动速度低于散度临界速度，即:u= 2 <u_B₁≈2.507，取移动速度υ作为控制参数，给出了管道中点的分岔图图8．从…中可以看出图8，当移动速度较小时，υ≤2.55时，系统在平衡位置稳定;随着移动速度的增加，2.55<υ< 10.95时，系统运动在第一次屈曲模态附近趋于稳定;随着移动速度的增大，10.95≤υ时，系统运动变为对称极限环运动。比较图8与图7，不难发现，在大多数时候，系统运动是相当相似的;不同的是，复杂的运动，如准周期运动和混沌运动，没有出现在这一部分。

图8

图8管道中点的分岔图(其中u =2、控制参数为移动速度υ)．

文中给出了几种典型运动的时程和相位描述图9．图9A, B表示平衡位置;图9C, D表示屈曲方式;图9E、F表示对称极限环运动。

图9

图9几种典型运动的时程和相位描述u =2）.(A, B)υ=2;(C, D)υ=4.5;(E, F)υ=12.

然后考虑移动速度低于散度临界速度的情况，即:υ= 2 <υ_B₁≈2.559。取内部流速u作为控制参数，给出了管道中点的分岔图图10．从…中可以看出图10，分岔图与第一种情况相似;当内部流速较小时，u≤2.51时，系统在平衡位置稳定;随着内部流动速度的增加，系统运动在第一屈曲模态附近趋于稳定。

图10

图10管道中点的分岔图(其中υ=2、控制参数为内部流速u)．

5.3脉动内流的动力响应

5.3.1参数共振区

根据5.1节的分析，对于线性动力，当取内流体速度为时u= 2时，第一模态的散度临界速度为υ_D₁≈2.565;当移动速度为时υ= 2，散度临界速度为u_D₁≈2.51。因此，为了研究脉动内部流的影响，我们考虑内部流体速度和运动速度同时低于散度临界值的情况，即:u= 2υ= 2。在这种情况下，系统的前四个固有频率如下所示:

\begin{array}{l} ω_{1} ＝ 4.73 ， ω_{2} ＝ 35.3 ， ω_{3.} ＝ 82.64 ， ω_{4} ＝ 141.11 & （ 26 ） \end{array}

根据Floquet理论，分析了脉动内流系统的参数共振区域。考虑脉动内流的影响而忽略非线性轴力，式(8)的矩阵形式退化为与线性动力情况类似的形式，即

\begin{array}{l} 米 \ddot{问} + C \dot{问} + Kq = 0 & （ 27 ） \end{array}

使用状态向量

$y ＝ {｛问， \dot{问} ｝}^{T}$ ，式(27)可转化为:

\begin{array}{l} \dot{y} =嗯 & （ 28 ） \end{array}

在哪里

\begin{array}{l} 一个 ＝ ［ \begin{matrix} 0 & 我 \\ - 米^{- 1} K & - 米^{- 1} C \end{matrix} ］ & （ 29 ） \end{array}

在考虑脉动内流的影响后，得到了矩阵一个将是周期性的，即，一个（τ) =一个（τ + t),T表示脉动内部流和的周期T= 2π/ω_pT．假设 $\bar{y}$ （τ)是式(28)的一个解，因为矩阵具有周期性一个， $\bar{y}$ （τ+T)应为式(28)的另一解，存在如下关系:

\begin{array}{l} \bar{y} （ τ + T ） ＝ Ā （ τ ） \bar{y} （ τ ） & （ 30. ） \end{array}

Ā(τ，可由式(28)通过一定的初始条件求解得到

\begin{array}{l} ［ {\bar{y}}_{1} （ τ ） ， {\bar{y}}_{2} （ τ ） ， \dots ， {\bar{y}}_{2 n} （ τ ） ］ ＝ {［ \begin{array}{l} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array} ］}_{2 n \times 2 n} & （ 31 ） \end{array}

然后，通过矩阵的特征值分析来研究系统的参数共振区域Ā（τ):如果所有特征值的绝对值小于1，则系统是稳定的;否则，会引起参数共振不稳定。

系统的参数失稳区域图如图所示图11，其中横坐标为脉动激励频率，纵坐标为脉动激励幅值，图中阴影部分为系统参数失稳发生区域。从…中可以看出图11，当脉动幅值较小时，即μ≤0.1时，系统稳定;随着脉动幅值的增大，当脉动频率为第一固有频率的两倍时(ω_p≈2ω₁)时，发生第一主参数共振;随着脉动幅度进一步增大，当μ≈0.23时，当脉动频率接近第一固有频率(ω_p≈ω₁）;当μ≈0.34时，发生第二主参数共振(ω_p≈2ω₂）;当μ≈0.57时，发生组合共振(ω_p≈ω₁+ω₂)．

图11

图11系统的参数失稳区域图。

5.3.2非线性动力响应

在本节中，考虑附加轴向张力，进一步研究了系统的非线性动力响应。在这种情况下u= 2,υ= 2时，不同脉动幅值时管道中点的分岔图如图所示图12．当脉动幅值较小时，即μ= 0.2时，管道中点的分岔图比较简单，可以在图12．在大多数脉动频率下，系统是稳定的;当ω_p= 7.4时，出现Hopf分岔，在7.4≤范围内ω_p≤11.4时，系统发生周期为1的运动，该运动由第一主参数共振引起(ω_p≈2ω₁)．当μ= 0.4时，系统的分岔图变得复杂，系统的非线性响应可以表示为三个区域，可以在图12 b．区域I表示分岔图的早期状态。在区域I中，系统运动是复杂的:当ω_p< 2.75，出现多个周期运动和混沌运动，这些可能是低频共振引起的;2.75≤时ω_p≤5、由于二次共振(ω_p≈ω₁)．区域II表示系统由第一主参数共振主导，系统进行周期为1的运动。区域III表示系统由第二主参数共振(ω_p≈ω₁)，系统运动也是周期为1的运动。当μ= 0.6时，系统的分岔图更为复杂。当脉动频率较小时，系统由混沌运动变为周期1运动，但区域I与区域II之间不存在Hopf分岔。其原因是次级共振区域可能与第一主参数共振区域合并。37.8≤ω_p≤41，出现了一个新的区域，由于组合共振产生Hopf分岔(ω_p≈ω₁+ω₂)，该区域记为区域IV。随着脉动频率的增加，由于第二主参数共振，区域III和Hopf分岔再次出现。区域III的范围μ= 0.6比with大得多μ= 0.4。

图12

图12不同脉动幅值时管道中点的分岔图u= 2,υ=2、控制参数为脉动频率ω_p)．(一)μ= 0.2;(B)μ= 0.4;(C)μ= 0.6。

因为当脉动幅值较大时，系统的动态行为丰富，即μ= 0.6时，得到运动状态稳定时管道中点的位移响应和速度响应，进一步分析系统的动力行为。图中给出了不同脉动频率下管道中点的典型时程图和PSD图图13．注意到PSD图为单侧谱，其中x-coordinate为单侧频率f＝ω_p/2π,在那里f₁而且f₂分别表示系统的前二阶单侧固有频率。系统在不同脉动频率下对应的相位轨迹图和Poincaré图如图所示图14．从…中可以看出数字13,14个,当ω_p= 8时，系统可能发生混沌运动:位移时间曲线具有较强的随机性;PSD图显示宽带和噪声特征;相位轨迹是一组曲线;Poincaré地图呈现出一系列具有分形结构的密集点。从…中可以看出图13 b，14 b,当ω_p= 10时，系统进行周期为1的运动:位移时间曲线为简单周期;PSD表现出明显的窄带特征，峰值位于第一主共振对应的奇数个固有频率附近(f₁3f₁, 5f₁）;相轨迹为单一闭合曲线;Poincaré地图只有两个点。从…中可以看出图13 d，14 d,当ω_p= 70时，系统运动特性与时相似ω_p= 10，主要区别在于前者系统受第二主参数共振的影响;因此，PSD的峰值在第二主共振对应的频率附近(f₂3f₂, 5f₂)．从…中可以看出数字13 c，14摄氏度,当ω_p= 39时，系统进行准周期运动:由于组合共振，位移时间曲线和PSD图的组成比较复杂(f₁+ f₂）;相轨迹为一系列闭合曲线;Poincaré地图是由一系列密集点构成的封闭曲线。

图13

图13管道中点在不同脉动频率下的时程(左)和功率谱密度图(右)μ= 0.6)。(一)ω_p= 8;(B)ω_p= 10;(C)ω_p= 39;(D)ω_p= 70。

图14

图14系统在不同脉动频率时的相位轨迹图(左)和Poincaré图(右μ= 0.6)。(一)ω_p= 8;(B)ω_p= 10;(C)ω_p= 39;(D)ω_p= 70。

5.3.3参数分析

在本节中，分析了几个关键系统参数对非线性响应的影响，包括轴向附加质量系数、非线性轴向力参数和系统运动参数。为更好地研究系统参数对非线性响应的影响，取内部流体速度、运动速度和脉动幅值为u= 2,υ= 2和μ= 0.6，除另有说明外，其他系统参数按式(21)设置。

5.3.4轴向附加质量系数

轴向附加质量系数的影响β在分岔图上，管子的中点如图所示图15．从…中可以看出图15时，系统运动区域的变化存在较大差异。为轴向附加质量系数β增大，区域I位移幅值减小;区域II位移幅度增大，区域范围增大;对于区域III，整个区域稍微向右移动;区域IV位移幅值增大。

图15

图15含轴向附加质量系数的管道中点分岔图β(u= 2,υ= 2,μ= 0.6，控制参数为脉动频率ω_p)．(一)β= 0.01;(B)β= 0.03;(C)β= 0.05;(D)β= 0.07。

5.3.5非线性轴力参数

非线性轴力参数包括非线性轴力系数ҡ以及开尔文-福格特阻尼α．非线性轴向力系数的影响ҡ在分岔图上，管子的中点如图所示图16．从…中可以看出图16，随系数的增大而增大ҡ时，分岔图的整体形状变化不大，四个区域的位移幅值均有所减小，区域III的幅度略有增大。

图16

图16不同非线性轴力系数下管道中点的分岔图ҡ(u= 2,υ= 2,μ= 0.6，控制参数为脉动频率ω_p)．(一)ҡ= 10000;(B)ҡ= 20000;(C)ҡ= 30000;(D)ҡ= 50000。

开尔文-福格特阻尼的影响α在分岔图上，管子的中点如图所示图17．从…中可以看出图17，随着Kelvin-Voigt阻尼的增加α区域I和II变化不大，而区域III、IV和V变化较大。当α= 0.002时，区域III在较窄的频率范围(58.5≤ω_p≤63)，记为区域V。在区域V中，系统进行周期为2的运动。当α= 0.004时，区域III和区域IV的范围略有减小。当α= 0.006，区域IV和V均消失，区域III的范围减小;当α= 0.008时，区域III的范围和位移幅值进一步减小。

图17

图17不同开尔文-福格特阻尼下管道中点的分岔图α(u= 2,υ= 2,μ= 0.6，控制参数为脉动频率ω_p)．(一)α= 0.002;(B)α= 0.004;(C)α= 0.006;(D)α= 0.008。

5.3.6系统运动参数

系统运动参数包括内部流体速度u以及移动速度υ．在上述情况中，我们考虑内部流体速度和运动速度均低于散度临界值的情况，即:u= 2和υ= 2。在本小节中，我们将首先讨论移动速度高于发散临界速度的情况，分岔图如图所示图18．从…中可以看出图18时，系统运动非常复杂:当脉动频率较小时(0<ω_p<11)时，系统运动具有周期性，但其平衡位置为屈曲模态;这种运动就是所谓的不对称周期运动;此时，系统交替经历混沌运动和周期-1运动(11<ω_p<22)，其中混沌运动只发生一小段时间;之后，系统在一个长区域(22<ω_p< 29.5);随着脉动频率进一步增加(ω_p<30)时，系统返回非对称周期运动。

图18

图18当移动速度大于发散临界速度时，管道中点的分岔图μ= 0.6,u= 2,υ= 4.5，控制参数为脉动频率ω_p)．

然后，还讨论了内部流体速度大于发散临界速度的情况，其分岔图如图所示图19．从…中可以看出图19时，系统运动更为复杂:当脉动频率较小时(0<ω_p<12)，系统经历短暂的不对称周期运动;然后，系统交替经历混沌运动和周期1运动;这个地区与早期的地区相似图18；之后，系统在一个长区域(12<ω_p< 38);然后，系统经历混沌运动、多周期运动和拟周期运动(39<ω_p< 60);这两个区域与对应的区域(12<ω_p< 60)图4；随着脉动频率进一步增加(ω_p<65)时，系统经历多次周期运动和周期-1运动，最后回到非对称周期运动。

图19

图19当管内流体速度大于发散临界速度时，管道中点的分岔图μ= 0.6,u= 4.5,υ= 2，控制参数为脉动频率ω_p)．

6结论

本文综合研究了在不可压缩流体中轴向运动的输送脉动流体的细长均匀管道的线性和非线性动力学。考虑坐标转换系统、描述外部流体引起的附加惯性力的“轴向附加质量系数”、Kelvin-Voigt粘弹性阻尼、一种非线性的轴向附加张力以及脉动的内部流体等因素，建立了系统的振动方程。采用伽辽金法对振动方程进行离散化，采用龙格-库塔法进行求解，并对求解方法的有效性进行了验证。然后，深入研究了系统的线性响应和非线性响应，特别是系统在脉动内流作用下的非线性响应。本文的结果揭示了许多新的现象。

首先，在不考虑非线性管道附加轴向力和脉动内部流的情况下，研究了系统的线性响应。分别研究了前三个特征值在不同运动速度和内部流体速度下的变化规律。并得到了系统的临界速度。结果表明，Kelvin-Voigt粘弹性阻尼对二、三模态的影响大于对一模态的影响。

其次，在忽略内部流动脉动分量的情况下，研究了考虑非线性附加管道轴力的非线性动力响应。结果表明，与以往的研究相比，该系统的分岔图简单(李等，2015）;复杂的运动，如准周期运动和混沌运动没有出现。

第三，研究了系统在脉动内流作用下的非线性动力响应。基于Floquet理论得到了系统的参数不稳定区域图，并通过分岔图、时程曲线、PSD、相位轨迹、Poincaré map等方法研究了系统在相应区域内的运动。结果表明，随着脉动幅值的增大，系统将出现第一、第二主参数共振、二次共振和组合共振;此外，还可以观测到丰富的系统运动，包括周期运动、准周期运动和混沌运动。最后，分析了几个关键系统参数对非线性响应的影响。

数据可用性声明

研究报告中提出的原始贡献包括在文章/补充材料中。进一步的查询可以联系通讯作者。

道德声明

本文不包含任何作者对人类参与者或动物进行的任何研究。研究中所有个体参与者都获得了知情同意。

作者的贡献

概念化、YL和DZ;方法,黄;验证、YL型;数据管理，YL和DZ;写作-初稿准备，YL;写作评论和编辑，DZ。所有作者均已阅读并同意该手稿的出版版本。

致谢

感谢广东海洋大学科研启动基金项目(R19020)和湛江市科技计划项目(2020B01465)对本课题的资助。

利益冲突

作者声明，这项研究是在没有任何商业或财务关系的情况下进行的，这些关系可能被解释为潜在的利益冲突。

出版商的注意

本文中所表达的所有主张仅代表作者，并不代表他们的附属组织，也不代表出版商、编辑和审稿人。任何可能在本文中评估的产品，或可能由其制造商提出的声明，都不得到出版商的保证或认可。

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关键词:输送脉动流体的管道，轴向移动的水下管道，附加轴向张力，非线性动力学，参数共振

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收到:2022年6月30日;接受:2022年9月16日;
发表:2022年10月13日。

编辑:

盛徐江苏科技大学，中国

审核:

Zhenkui王浙江大学，中国
王栋上海交通大学，中国
王Yikun湖北文理学院，中国

*通信:大鹏,zhangdapeng@gdou.edu.cn

原创研究文章

轴向运动水下管道输送脉动流体的动力学分析

1介绍

系统的制定和理论推导

3数值解

4方案验证

4.1 Galerkin过程的收敛性

4.2方案程序验证

4.2.1简化模型i:管道无轴向运动

4.2.2简化模型delii:管道轴向运动，内部无流体

5个结果

5.1线性动态

5.2无脉动内流的动力响应

5.3脉动内流的动力响应

5.3.1参数共振区

5.3.2非线性动力响应

5.3.3参数分析

5.3.4轴向附加质量系数

5.3.5非线性轴力参数

5.3.6系统运动参数

6结论

数据可用性声明

道德声明

作者的贡献

致谢

利益冲突

出版商的注意

参考文献

这篇文章是研究课题的一部分

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