探索二维胸部x线图像肺场建模的分段多项式插值函数的最优性

1介绍

胸部x线成像由于其低成本和容易获得，仍然是放射科医生和医疗从业人员在日常检查中用于诊断肺部疾病的最首选技术之一。由于这个原因，肺野区域的准确检测和分割对于任何生物医学图像分析程序都是至关重要的[<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B3">3.］．肺野的描绘是任何胸部图像分析程序的先决条件。然而，描述是一个非常繁琐和耗时的过程，可能容易产生主观偏见。因此，需要一种肺野分割的自动化解决方案[<一个href="#B4">4］．由于边缘的强度变化和其他解剖结构的重叠，开发一种用于肺野分割的自动化解决方案具有挑战性。由于胸部x光片是低对比度图像，无法从背景中区分肺区域，经典的阈值分割和边缘检测算法对肺场分割来说是不够的。作者见参考文献[<一个href="#B5">5]提供了一种直观的方法来解决这个问题，它将形状表示为一组离散的标记点，并将这些点称为地标。每个标记点表示形状或其边界的特定部分，并捕获形状空间中的特定分布。但实际上，这是非常耗时的。在形状空间中标记一组地标点以建立形状模型称为点分布模型[<一个href="#B6">6，<一个href="#B7">7］．建模的形状需要相当多的地标点来形成曲线。因此，点分布模型不可避免地减少了可用于表示形状的点的数量。显然，这些标记集或标记点的数量并不代表任何具有解剖学意义的显著特征，而是解剖形状的曲线或边界的一部分。然而，这种方法(PDM)有一些不良后果。首先，用户被迫在每个训练示例中放置许多地标点来平滑曲线。第二，标记点可能会失去真正标记点的特征，因为它们不代表物体的任何显著特征。上述问题可以通过只取几个必须具有一定解剖意义的肺野区域的标志点来最小化。然后对这些重要的解剖标志点进行插值，得到与原始肺野形状接近的形状。肺野的准确描绘需要胸片的解剖学知识，以纳入预期的形状，这可能是主动形状建模(ASM)的先验信息。

为勾画肺野，作者在文献。[<一个href="#B8">8]使用50个标记点代表左肺，44个标记点代表右肺。他们还用26个标记点来表示心形，用一对23个标记点来表示左右锁骨(左和右)。每个对象和地标点均采用人工标注，不采用插值方法。作者见参考文献[<一个href="#B9">9]提出了一种肺分割方法，通过随后应用简单的强度和边缘特征提取技术捕获肺野周围的显著点。然后利用贝塞尔曲线对检测到的显著点进行插值，以近似肺野边界。参考文献[<一个href="#B10">10]， Shao等人提出了一种关节形状和外观稀疏学习方法，从胸片中分割出肺野。他们总共使用了14个标记点(右肺6个，左肺8个)来大致了解两个肺区域。他们将这些标记的集合称为“地标”。在这些地标点之间还标注了一些点，他们将这些标记的集合称为“点”。然而，作者没有提供任何关于他们用来代表肺野区域的点的数量的信息。作者见参考文献[<一个href="#B11">11]提出了一种定制的活动形状模型，从胸部x线图像中提取肺部区域。他们采用平均活动形状模型、灰度投影和仿射配准来获得初始肺轮廓。然后，定义一个目标函数，将活动形状模型的顶点推送到真实肺边缘，使顶点的距离分布更加均衡。他们用44和50个地标点分别代表左右肺区域，进行肺野分割。标记点的标注集是手工定义的，没有使用插值。作者见参考文献[<一个href="#B12">12]提出了一种使用改进的统计形状和外观模型的自动肺场分割方法。他们使用6个地标点定位每个肺区域，然后应用基于灰度强度的方法定位和初始化肺形状模型。他们使用强度剖面模型创建边界标记点，然后用三次样条插值方法插值这些标记点。参考文献[<一个href="#B13">13]，作者使用标记点集训练他们的算法，在单光子发射计算机断层扫描(SPECT)图像中使用主动形状建模(ASM)自动肺场分割，并验证了这种自动SPECT分割与计算机断层扫描(CT)图像以及手动勾画的SPECT图像的对比。但是这种方法并没有解释他们所使用的插值机制的类型。参考文献[<一个href="#B14">14]，作者使用144个标注边界点(每左/右肺72个)构建肺场的统计形状模型。具体来说，他们根据肺野的外观使用6个手动标注的主要标志点，然后在手动标注的主要标志点之间进行插值，沿着肺轮廓估计次要标志点。然而，值得注意的是，在他们的方法中没有排除与肺野区域重叠的其他解剖结构，并且没有定义插值方法的类型。这些作者都使用了地标选择方法从胸部x线图像中分割出肺野区域。然而，这些作者无法解释需要多少插值点(次要标志)来近似具有最高相似指数的肺野区域。

在CT、SPECT和其他医学成像技术中，标记方法也被用于勾画其他解剖结构，如心脏、肝脏、股骨等。参考文献[<一个href="#B15">15]报道了一种用于多目标结构统计建模的通用多分辨率框架。参考文献[<一个href="#B16">16]提出了一种用于分割心脏右心室(RV)边界的双活动形状模型。参考文献[<一个href="#B17">17提出了一种基于CT图像形状建模的肝脏自动分割方法。参考文献[<一个href="#B18">18]使用基于标记的方法，通过部分活动形状模型(PASM)从2D经直肠超声(TRUS)图像中提取前列腺边界。参考文献[<一个href="#B16">16]介绍了一种基于asm的核磁共振成像(MRI)中心肌T1映射的运动校正框架。显然，标记是任何试图识别解剖区域的自动化计算机辅助诊断(CAD)系统的第一个阶段。基于标记的方法的主要优点是它将形状表示为一组离散的标记点。基于地标的方法非常适用于边界能见度模糊或无法与背景区分的情况，这通常是低对比度成像的情况，如x射线成像和超声成像。基于标记的点分布模型在主动形状建模(ASM)、主动外观建模、深度学习(DL)和机器学习(ML)模型中发现了许多应用，用于医学成像中的配准和分割应用。但该方法存在一定的局限性，妨碍了其准确的临床应用。基于模型的方法假设训练图像与待分割新图像之间的形状信息和强度信息相似。不幸的是，这种假设往往是无效的，因为在应用阶段的个体之间肺解剖结构的变化。

本文基于左肺区和右肺野区的解剖特征，探索了一组标记点。我们在本文中的贡献是:1)确定了用于左右肺野建模的胸部区域解剖标志点的数量，2)确定了每个插值多项式对左右肺野区域建模的最优条件，3)确定了最适合的插值多项式，通过产生最少的次要标志点来建模具有最高相似指数的左右肺野区域。探索分段多项式的最优性比选择随机数量的半标记点有一个额外的优势。它减少了插值点的数量，从而降低了处理算法的计算复杂度。在计算复杂度较低的实时医学成像应用中，了解插值点的最小数量是非常有用的。然而，基于标志的研究的一个缺点是可用的标志点的数量有时可能不足以捕捉物体的形状。

本文的其余部分组织如下:第2节提供了肺形状建模的数学基础，第3节讨论了插值方法，主要突出了我们在本文献中使用的不同类别的分段三次插值多项式。第4节讨论了图像标记的方法，最后，第5节和第6节分别讨论了模拟结果和结论。

2肺形状建模

让训练集中的每个形状由一组K从一个形状到下一个形状必须一致的标志位置的数目。在这里，一致性是指每个特定的地标点必须放在与第一张图像上相同的位置上。这意味着，每个特定的地标点代表肺野边界的特定位置。

为了对肺场形状建模，让每个标注的地标点由坐标位置(x_j，y_j)在二维空间中<我nline-formula id="inf1"> ${\mathbb{R}}^2$ ．如果每个形状都由K标记点的个数，然后将所建模的形状按坐标位置进行了表示我形状由[定义<一个href="#B19">19］

这些坐标位置<我nline-formula id="inf2"> ${\mathrm{年代}}_{我}＝\left(（x_{我1}，y_{我1}），（x_{我2}，y_{我2}），.．.，（x_{我k}，y_{我k}）\right)$ 在形状向量形式中可以表示为

它被进一步重新排列为一组2K向量:

在哪里

如果有l训练例数，然后是配置矩阵<我nline-formula id="inf3"> $\mathrm{年代}\in {\mathbb{R}}^{2K\times l}$ 可以写成

3插补方法

建模或构建形状要求函数是连续的。如果建模函数由一组离散的数据点(地标点)组成，这就产生了一个真正的问题。因此，需要在离散数据点的基础上构造一个连续函数。在这里，尝试检查不同的插值技术，以连续的方式从一组离散的地标点拟合形状。插值有助于从一组离散数据点构造一个连续函数。值得注意的是，这些插值技术[<一个href="#B20">20.]只提供了肺场区域建模的条件。这些方法并不为所解释的技术提供任何解决方案。

鉴于K地标数目(x_j，y_j)在2d平面上<我nline-formula id="inf4"> ${\mathbb{R}}^2$ 时，插值多项式定义为

在哪里x= (x₁，…，x_k)为插补点和P（x_j)为标志点的插值多项式(x₁，y₁), (x₂，y₂)，…，(x_k，y_k)．拟合多项式的求解P（x_j)，以符合地标点(x_j，y_j)等价于解一个线性方程组

在哪里<年代trong>一个是范德蒙矩阵。

3.1分段多项式插值

在区间上近似函数的一种非常自然和不同的方法是首先将区间分割为子区间，然后在每个子区间上用一个相当低次的多项式近似函数。

鉴于K地标点数目<我nline-formula id="inf5"> $\left(x_j，y_j\right)\in {\mathbb{R}}^2$ 在条件下x₁<x₂<⋯<x_k，用分段函数表示的一维分段插值可定义为

在哪里P_j（x)至少在中处处连续<我nline-formula id="inf6"> $\left[x_j，x_{j+1}\right]$ ．连续性条件应在每个数据点上保持不变，

分段多项式函数定义为

因此，分段多项式插值问题是确定系数<我nline-formula id="inf7"> ${\mathrm{一个}}_r^j$ 对于所有的区间，使得得到的插值具有理想的性质。

3.2线性插值

分段线性插值[<一个href="#B21">21]是迄今为止最受欢迎的插值技术，由于其更快的性能，在信号和图像处理中得到了数字应用。

如果t局部变量是由t＝x−x_j，<我nline-formula id="inf8"> $x\in \left[x_j，x_{j+1}\right]$ ，然后除以差值δ_j是

分段线性插值是连接区间内两个连续点的分段直线<我nline-formula id="inf9"> $\left(x_j，x_{j+1}\right)$ ．在区间内的插值<我nline-formula id="inf10"> $\left(x_j，x_{j+1}\right)$ 然后

或

很明显，这个方程代表了一条经过地标位置的直线的函数<我nline-formula id="inf11"> $\left(x_j，y_j\right)$ 和<我nline-formula id="inf12"> $\left(x_{j+1}，y_{j+1}\right)$ ．

3.3三次卷积插值

三次卷积插值[<一个href="#B22">22- - - - - -<一个href="#B24">24函数是通过对插值核施加一定的条件得到的。核主要由单位子区间[- 2,2]上定义的分段三次多项式组成。

对于等间隔的数据，插值函数可以定义为

在哪里c_j这些系数是否取决于采样数据，u_j核基是函数，和h为采样间隔。三次卷积插值是通过在核上设置一定的条件来达到精度的最大化。键(<一个href="#B22">22用分段三次多项式在子区间(−2，−1)、(−1,0)、(0,1)和(1,2)上定义了三次卷积插值核。在这个区间之外，插值核被假设为零。通过施加这个条件，计算插值函数的数据样本数量减少到4个。因此，内核u会有这样的形式:

与u(0) = 1和u（n) = 0n为非零整数。作为h两个节点之间的采样间隔，两个插值节点之间的差值是多少x_j和x_r将会是(j- - - - - -r）h．现在,如果x被替换为x_j在<一个href="#e16">方程16,然后<一个href="#e16">Eq。16将采取的形式:

现在,如果x_r＝x_j＋1,然后<一个href="#e19">Eq。19会有这样的形式:

3.4三次样条插值

样条函数中，三次样条函数[<一个href="#B25">25- - - - - -<一个href="#B28">28]是最受欢迎的函数。三次样条函数能很好地拟合数据。更重要的是，它们不具有与插值相关的高阶多项式常见的振荡行为，就像三次拉格朗日插值多项式产生的那样。三次样条由

在哪里x_j−1≤x≤x_j为j= 1, 2，…K．

显然，上面的方程对每条样条都包含四个未知数，一个_j，b_j，c_j,d_j，总共4个K在整个区间内都是未知数。

三次样条插值必须具有二阶导数，并满足连续条件

在时间间隔内<我nline-formula id="inf13"> $\left[x_j，x_{j+1}\right]$ ．这就要求P（x_j)，P”(x_j),P”(x_j)在区间内是连续的<我nline-formula id="inf14"> $\left[x_j，x_{j+1}\right]$ ．为了求插值函数，系数一个_j，b_j，c_j,d_j必须为每一个三次函数确定。为K标记点的数量，将有(−1)立方函数，每个立方函数需要四个系数。因此，总共有4个(K−1)未知数。为了得到所有的系数4(K−1)，需要独立方程。为了得到这些系数，需要假设某些条件。每条样条的前两个条件如下:

1)分段三次函数问（x)必须与每一个地标数据点(左右)相交。这需要

2)此外,问（x)必须在间隔上连续<我nline-formula id="inf15"> $\left[x_1，x_k\right]$ 得出结论，每个子函数必须在里程碑数据点连接，即，

这两个假设给出2(K−1)方程。由于每个三次函数必须平滑地连接到它最近的邻居，一阶导数和二阶导数被限制为连续的。

3）问”(x)必须在间隔上连续<我nline-formula id="inf16"> $\left[x_1，x_k\right]$ 为了使曲线在区间上平滑，即，

4）Q "（x)将在间隔上连续<我nline-formula id="inf17"> $\left[x_1，x_k\right]$ ．因此,

得到2(K−2)方程。因此，我们得到(4)K−2)方程，因此是未定的。为了得到三次样条函数，必须满足另外两个条件才能得到4K方程。

由于我们的目的是获得肺场的封闭轮廓，因此施加了以下周期性约束(也称为周期性条件)。

5)

6)

3.5分段三次Hermite插值

分段三次埃尔米特插值多项式[<一个href="#B29">29，<一个href="#B30">30.]是一个三阶多项式，它具有形状保持特征，它只匹配数据点上的一阶导数与其邻居(前后)[<一个href="#B31">31］．这一特性使它不同于三次样条函数。

如果h_j的长度j给出的子区间

然后除以差值δ_j将

如果ζ_j插值函数的斜率是x_j,然后

在保形PCHIP函数中，其思想是通过确定斜率来局部限制超调d_j．

值得注意的是，如果δ_j和δ_j−1是相反的符号还是其中一项为零x_j是离散局部极小值或离散局部极大值。我们约束ζ_j为零，也就是说，ζ_j= 0, and, ifδ_j和δ_j−1具有相同的符号和相同的区间大小，那么ζ_j是用调和平均数计算的吗

然而,如果δ_j和δ_j−1符号相同但间隔长度不同，则δ_j会不会是加权调和平均数引表达式

在哪里w₁= 2h_j+h_j−1和w₂＝h_j+ 2h_j−1。

3.6 Makima分段三次Hermite插值

Akima插值[<一个href="#B32">32在间隔之间<我nline-formula id="inf18"> $\left[x_j，x_{j+1}\right]$ 通过选择导数作为最接近斜率的线性组合来最小化摆动

在哪里<我nline-formula id="inf19"> ${\delta }_j＝\frac{y_{j+1}-y_j}{x_{j+1}-x_j}$ 区间的斜率是多少<我nline-formula id="inf20"> $\left[x_j，x_{j+1}\right]$ ．

对于任何地标点x_j，秋马取五邻地标点x_j−2，x_j−1，x_j，x_j＋1,x_{j+ 2}计算Akima导数。然而，Akima插值函数有两个主要问题。首先，如果上下斜率相等，即，δ_j−2=，δ_j−1,δ_j＝δ_j＋1，分子和分母都为零，因此Akima导数将无解。其次，当连续两个节点的数据为常数时，Akima插值器会产生超调或下调。为了克服这两个问题，引入了一种改进的Makima插值方法[<一个href="#B33">33］．

为了避免这两种情况，<一个href="#e33">Eq。33稍后修改为

在哪里

和

很明显,ζ_j= 0时δ_j＝δ_j＋1= 0，即，ζ_j= 0时y_j＝y_j＋1＝y_{j+ 2}因此，这些条件可以防止在超过两个连续节点的常数数据的情况下，方程的超调或下调[<一个href="#B34">34］．

4种方法

在我们的方法中，我们选择了解剖学上各方面都相似的x线片来研究不同的插值多项式在肺野区建模中的表现。公开可用的JSRT数据集[<一个href="#B35">35]来研究每个插值多项式的性能。

1) JSRT数据集:该数据集包含247张由日本放射技术学会(JSRT)编译的前路(PA)胸部x线图像。247张x线胸片中，154张有肺结节(恶性100例，良性54例)，93张无肺结节。这些图像大小为2048 × 2048像素，灰度颜色深度为12位，水平和垂直方向的像素间距为0.175 mm。

所选的后前(PA)胸部x线图像首先向下采样到像素大小为512 × 512。然后应用负变换来突出肺野区域。然后使用17个左肺解剖标志点和16个右肺野区标志点对图像进行标注，如图所示<一个href="#F1">图1．对所选图像集准备肺场区域的地真值，比较不同插值多项式的性能。地面真相的注释由临床放射科医生使用MATLAB R2018b中的图像处理和计算机视觉工具箱中的图像分割器应用程序完成。注释是通过在图像分割应用程序中跟踪肺场区域周围的曲线来完成的。左肺区域定义的标志点分为左肋缘(1L - 5L)、左根尖区(5L、6L、8L、9L和10L)、降主动脉/主动脉弧(11L-14L)、心脏左心室边界(14L-16L)和左膈(16L、17L和1L)。同样，为右肺定义的地标点分为右肺野区域的右海岸边缘(1R - 6R)、右根尖区(6R, 7R, 9R, 10R和11R)、上腔静脉(11R - 13r)、心脏右心室边界(13R-15R)和右膈(15R, 16R和1R)。此处以7L、9L为标志点，并以6L、10L为标志点代表左锁骨。同样，8R和10R的标志点与7R和11R结合来表示右侧锁骨区域。这两个区域，左锁骨和右锁骨(每个区域包含四个地标点)，主要是为了研究基于地标的后处理。这里需要注意的是，肺尖以上区域、隔膜以下区域、包围心脏的纵隔、上腔静脉、降主动脉等不在本研究范围内。 A side by side comparison of one lung region to the other gives important information about the shape dissimilarity like lung’s contraction or expansion that helps to analyze different lung diseases [<一个href="#B36">36，<一个href="#B37">37］．将这些区域细分为不同的部分可以更好地分析疾病。为了使这些区域独立，可以将肺区域细分为三个不同的区域，即顶端和内侧和下部区域，在海岸边缘定义几个共线地标点。为了满足这些标准，将属于左海岸边缘的地标点2L、3L、4L和5L分别与地标点16L、15L、14L和10L共线。同理，将属于右海岸边缘的标志点2R、3R、4R、5R、6R分别与标志点15R、14R、13R、12R、11R共线。

4.1评价指标

为了比较不同的插值技术，两种不同的性能度量，即Jaccard相似系数和Dice相似系数[<一个href="#B38">38，用于评价圈定和插值的质量。

1) Jaccard相似系数(JSC):定义ground truth形状与插值形状之间的Jaccard相似系数或Jaccard指数(J)为

2) Dice系数(DC):定义ground truth shape与interpolated shape之间的Dice系数为

在哪里年代_GT被地面真理包围的区域是形状和年代_是插值形状所包围的区域。两个形状实例之间的Jaccard系数和Dice系数让我们了解了这两个集合的相似程度。JSC和DC取之间的值<我nline-formula id="inf21"> $\left[\mathrm{0\; 1}\right]$ ．0表示这两个形状实例彼此不重合，而1表示这两个形状实例完全重合。

3)执行时间:在评估算法性能时，估计执行时间通常是必须的。了解程序的执行时间对于选择合适的方法来在指定的时间内对肺野形状进行建模至关重要。对于肺场建模，不能选用耗时大于规定时间的多项式。

5仿真结果

在这项工作中，研究了五种不同的插值多项式，用于左、右肺野建模，使用一组离散标记点，称为解剖标志点。为此，从公开的JSRT数据集中选择了三张类似的x线照片。我们在所选图像中识别并选择了17个左肺区解剖标志点和16个右肺区解剖标志点，如图<一个href="#F1">图1．由于所选择的地标点不足以形成肺轮廓，因此使用分段插值多项式在每对连续地标点之间创建额外的中间半地标点。我们的目的是通过插值最少数量的次要标志点(即中间半标志点)来获得相似指数最高的形状。因此，分析通过插值最少数量的中间半标记点来寻找相似指数最高的形状。为此，使用分段插值多项式在每对连续地标点之间获得1-15个中间半地标点。每个插值多项式的性能是评估中间半标记的数量从1到15之间形成的每对连续地标点。<一个href="#F2">图2显示了图像数据集JPCLN001的肺形状建模，分别使用线性、三次卷积、三次样条、PCHIP和Makima插值方法选择插值多项式，分别使用一个、三个和十个中间半标记点。中还进行了类似的尝试来表示另外两组图像<一个href="#F3">图3，<一个href="#F4">4选取插值多项式，分别使用1、3和10个辅助路标点。在这里，红色和绿色轮廓分别用于表示使用不同插值多项式获得的地面真理和肺场边界。对于左、右肺野建模，根据中间半标记点的数量，用Jaccard相似系数和Dice系数评价每种插值方法的性能。<一个href="#F5">图5表示每个插值多项式在Jaccard相似系数和方面的性能<一个href="#F6">图6用Dice系数表示它们的性能。不同的插值多项式的表格形式，其中Jaccard 's和Dice 's的系数保持最优的最小所需条件显示在<一个href="#T1">表1．在这里，最优性是指JSC和DC达到最佳或最有利的值，超过这个值就不寻求这样的重大变化。最优条件是指JSC和DC达到最佳或最有利值所需要的条件(即每对连续解剖标记对之间的中间半标记点的最少数量)。这些插值多项式的执行时间被评估为三个中间半标记点，并显示和比较<一个href="#F7">图7．仿真工作采用安装在Fedora Linux内核版本5.6.13-300.fc32下的MATLAB R2018b进行。x86_64 in HP ENVY 15-k004tx Notebook PC with the configuration of 1.7 GHz Intel Core i5-4210U processor having Intel HD Graphics 4400 and 8 GB of RAM.

6结论

在这里，我们提出了一种有效的解剖标记点选择及其最小化和肺野形状建模的方法，使用五种不同的插值技术，即线性、三次卷积、三次样条、PCHIP和Makima。每种插值方法都在局部应用，每个连续的解剖标记对之间都有一定数量的中间半标记点。我们用Jaccard相似系数(JSC)和Dice系数(DC)对每种插值技术的建模性能与准备好的地面真相进行了测量和比较。采用线性插值方法建模的形状，执行时间为4.97954 s，保证了形状相似指数最小(平均JSC为95.36、95.65%，左右肺野平均DC为97.62、97.78%)，且没有增加中间半标记点数量的影响。因此，无法定义线性插值方法的最优性条件。但是，对于PCHIP和Makima插值方法，当每对连续解剖标志对之间的中间半标记点数量从1个增加到3个时，JSC和DC会发生增量变化。当中间半标记点数量增加到3个以上时，JSC和DC无明显变化。因此，当中间半标记点最少为3个时，PCHIP和Makima插值方法的JSC和DC达到最优值，执行时间分别为5.04873和5.07105 s。在三次卷积的情况下也不例外，在这里，JSC和DC的最优值是在最少三个中间半标记点的情况下获得的，无论一个和三个中间半标记点之间的增量或减量变化，执行时间为5.05548 s。而三次样条方法则不具有相同的趋势，当中间半标记点数量低于7个时，JSC和DC出现逐渐减少或衰减。 The cubic spline method takes at least seven intermediate semilandmark points to produce an optimum result. From the experimentation, it is concluded that the PCHIP interpolation method is the most promising candidate for shape modeling of the lung field region with an average JSC of 96.47 and 97.13% and with an average DC of 98.20 and 98.54% for the left and right lung fields, respectively, with the optimality condition of three intermediate semilandmark points. The Makima interpolation method is not far behind and it modeled the shape with an average JSC of 96.27 and 96.87% and with an average DC of 98.10 and 98.42% for the left and right lung fields, respectively, with the optimality condition of three intermediate semilandmark points. The cubic convolution interpolation method takes an average JSC of 96.05 and 96.69% and average DC of 97.98 and 98.32% for the left and right lung field modeling, respectively, with the optimality condition of three intermediate semilandmark points. In contrary to the above stated methods that have the optimality condition of three intermediate semilandmark points, the cubic spline method takes an average JSC of 95.25 and 96.97% and an average DC of 97.56 and 98.46% for the left and right lung field modeling, respectively, with the optimality condition of at least seven intermediate semilandmark points. The cubic spline method remains the weakest candidate for the lung field modeling due to longer execution time of 5.22529 s for the three intermediate semilandmark points and the high optimality condition of at least seven intermediate semilandmark points.

数据可用性声明

研究中提出的原始贡献包含在文章/补充材料中;进一步的查询可以联系通讯作者。

作者的贡献

RK和SB构想了提出的想法。RK提出了理论并进行了计算。GM对分析方法进行了验证。SB调查(一个特定的方面)并监督这项工作的发现。所有作者都讨论了结果，并对最终的手稿做出了贡献。

利益冲突

作者声明，这项研究是在没有任何商业或财务关系的情况下进行的，这些关系可能被解释为潜在的利益冲突。

出版商的注意

本文中所表达的所有主张仅代表作者，并不代表他们的附属组织，也不代表出版商、编辑和审稿人。任何可能在本文中评估的产品，或可能由其制造商提出的声明，都不得到出版商的保证或认可。

致谢

作者要感谢Rajeev Nayan博士，医学博士，放射学，救灾诊断中心，丹巴德，贾坎德(印度)，为图像数据集的手动注释和地面真相准备。

参考文献